• 寿宁县第三届黄三公信俗文化节 2020-02-28
  • 想到国庆的“看人头”就发慌?国内6大清净地,没什么人知道! 2020-02-28
  • 神吐槽:绿军打世界杯有啥牛 2020-02-28
  • 火焰纹章风花雪月攻略 2020-02-28
  • 博士妈妈真有才:把6年单词进行分类汇总,孩子1周轻松记牢500词 2020-02-27
  • 如何在黄昏的时候拍摄出好的照片? 2020-02-27
  • 中国古建筑台州府城墙,看明清高超的筑城技术 2020-02-27
  • 马布里复仇首钢失败只因一点,昔日广东男篮天才将决定北控命运 2020-02-26
  • 特斯拉与爱迪生的恩怨情仇 | 周末不讲车 2020-02-26
  • 杰瑞德·莱托曾试图阻止华纳拍摄《小丑》? 2020-02-26
  • 多项活动取消,新闻发布会临时改期 NBA的痕迹,正从上海慢慢消失 2020-02-26
  • V3.5更新前瞻 |「女武神·迅羽」增幅核心——「雾都迅羽」 2020-02-25
  • 魔兽争霸3:各大兵种拆家能力数值解析 狼骑兵拆家速度恐怖 2020-02-25
  • 我在秦岭终南山发现的2种美味,你吃过吗? 2020-02-25
  • 丁彦雨航现身济南?疑似飞回美国养伤是否与山东接触不得而知刘宝杰侃球 2020-02-24
  • 当前位置:曲阳一中>> 教师园地>> 教师论文>>正文

    新利:Ⅱ、运用数形结合思想处理一类对称问题

    网投赌场_网投网站_网投平台 www.lzruida.com 2010年10月04日 09:36
    来源:本站原创


    高一数学组
        圆锥曲线上存在两点关于某直线对称求某参数范围问题,已经有许多文章进行了论述。通常都是用函数思想、不等式的思想解决的。即引进新参量,建立函数关系式,转化为函数值域或构造关于参量的不等式,寻求参量的范围。通过教学实践,笔者发现这类问题不仅可以用上述两种思想解决,也可以用数形结合思想解决。设想寻求有关弦中点轨迹,通过轨迹曲线与圆锥曲线的位置关系,利用数形结合寻求参量范围,下面举几例加以说明。
    例1:已知椭圆C: ,确定m的取值范围,使C上有不同的两点A、B关于直线L:y=4x+m对称。
    解:设A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点M(x0,y0)
    则有     (1)   (2)
    (1)-(2)得     
       A、B关于L对称
       KAB = 
      y0 = 6x0
    于是以 为斜率的平行弦中点轨迹是直线y=6x在椭圆内部的一段,不包括端点。
      与 联立得两交点A1( ),B1( ),
    问题转化为L与线段    有交点问题。
    由图形知,当L过A1点时,m最大值为  ,当L过B1点时,m最小值为 - ,
     
    例1的解法提供了一种解决此类问题的新思路,而且运算过程简单,从图形上可以直观地看出结果,真正体现了数形结合思想的作用。那么此种想法是否适合其它曲线呢?回答是肯定的。
    例2:曲线C:x-y2-2y=0上存在关于直线L:y=x+m对称两点A、B,求m的取值范围。
    解:设A(x1,y1)、B(x2,y2),AB中点M(x0,y0),则有
     - -2 =0        ①
     - -2 =0        ②
    ①-②得  (x1-x2)-(y1-y2)(y1+y2)-2(y1-y2)=0 
    由题意知    x1-x20,上式两端同除x1-x2,得
     
      A,B关于L对称
      KAB =  ,y0 =  ,x0 =  - m
    于是以-1为斜率的平行弦中点轨迹为直线y = 在抛物线内部的一条射线,不包括端点。
    将y = 代入抛物线方程得交点P( , ),
    问题转化为L与射线y = (x> )有交点。
        将P点坐标代入L方程得m = ,由图形知,m取值范围为
    由例1、例2可以看出,若直线L斜率已知,则可以转化为L与平行弦中点轨迹相交问题处理,关键是寻求与已知直线垂直的平行弦中点轨迹,然后再利用数形结合求参量范围。那么,这种解法可信度如何呢?我们看看上两例,例1中当L与A1B1有交点时,此交点恰是与L垂直的弦中点,就保证了该弦两端点关于L对称。所以只要L与平行弦中点轨迹有交点时,就能保证曲线上存在两点关于L对称。
    例3、已知椭圆C: ,确定k的范围,使C上存在不同的两点A、B关于直线L: 对称。
    解:设 , , ,
    当k=0时, 不符题意,所以 ,
    将A、B坐标代入椭圆方程得
     (1)    (2)
    (1)-(2)得     即
        
     , 有
     , 又M在L上,
     , ,
    于是以 为斜率的弦中点轨迹为 在椭圆内部的一段A1B1,如图,
    将 代入椭圆方程得 , 
    问题转化为L与线段A1B1有交点,由图形知
    例4、已知L: 能垂直平分曲线C: 某一弦AB,求k范围。
    解:由抛物线对称性,当k=0时,C上不存在A、B关于L对称,所以 ,
    设 , , ,
    将A、B坐标代入抛物线方程得
       (1)      (2) 
    (1)-(2)得  
     ,
     , , ,
    又 在L上,
     ,
    于是 , ,消k得
      斜率为 的弦中点轨迹为 在抛物线内部一段且过(1,1)点,如图,
    而L过定点(1,1)。当L与 相切时得k=-2,由图形知
    例5、曲线C: 上存在关于L: 对称的两点A、B,求k的范围。
    解:当k=0时,L为x轴,由双曲线对称性知 k=0不符合题意,
    当 时,设 , , ,
    将A、B坐标代入双曲线方程得
     (1)      (2)
    (1)-(2)得 ,
     , ,
    又  , ,
    以 为斜率的弦中点轨迹方程为x=-2,
    直线x=-2与双曲线、渐近线交于点A1,B1,C1,D1,
    由双曲线对称性可以看出,以 为斜率的弦中点轨迹应是线段B1C1和以A1,D1为端点的两条射线(在x=-2上),
    L过定点C(-4 ,0)
     
    由图形知, 时,L与弦中点轨迹有交点,即C上存在两点A、B关于L对称。
    所以 
    通过以上几例可以看出,运用数形结合思想解决这类问题,可以使运算过程简化,并具有很强的直观性,处理此类问题思路简单。最后笔者想说的是,数学思想无处不在,只要我们注重挖掘,并能将其运用于解题实践,这样将会给我们带来无穷的乐趣。

     

    频道栏目

    名师风采

    课件教案

    教师论文

    庄闲 | 万赢体育 | 必威 | ag国际亚游 | 大富翁彩票 | 正规网投 | 365体育 | 大发app | 足球投注平台 |