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    金沙官网:常系数线性齐次递推关系及解的求法

    网投赌场_网投网站_网投平台 www.lzruida.com 2010年05月20日 08:40
    来源:本站原创

     

                                 

    定义 , , k个常数,且 ,则递推关系

                      n k   1         

    称为k阶常系数线性齐次递推关系。

    如果数列 满足

              n k

    则称数列 是递推关系的一个解

    定理1 任意给出个常数 ,有且仅有一个数列 ,它是递推

    关系(1)的解,且满足条件: (该条件称为递推关

    系(1)的初始条件)

    因为有无穷多种方法去取k个常数 ,故由定理1,递推关系(1)有无穷多个解。但给出了初始条件之后,递推关系(1)的解是唯一的。

    能表示出递推关系(1)全部解的表达式叫做递推关系(1)的通解。

    递推关系(1)可改写成

    定义2 方程

                     2

    称为递推关系(1)的特征方程,它的根称为递推关系(1)的特征根

    定理2 q是非零复数,则 是递推关系(1)的一个解当且仅当q

    是递推关系(1)的一个特征根.

    定理3   都是递推关系(1)的解,

    为任意常数,则 也是递推关系(1)的解

    定理4 如果递推关系(1)的k个特征根 彼此相异,则

                  

    是递推关系(1)的通解,其中 为任意常数。

    1 已知

             

         求数列 的通项公式

    解:递推关系

          

    的特征方程为 ,特征根为

    ,所以

    ,

    其中 为待定常数,由初始条件有

      

    解这个方程组得 ,所以

    以上是对于特征根彼此相异求递推关系的解的情况,,下面来研究一下对于特征根为重根求递推关系解的情况

    定理5 q是递推关系(1)的一个m(m 0)重特征根,则 都是(1)的解

    定理 6 设递推关系(1)有t个相异的特征根 其中 重根,令

              ,

    其中 是任意常数,则递推关系(1)的通解为

                     

    由以上定理可以知道,解常系数线性齐次递推关系的步骤是:求出特征根,写出通解,由初始条件确定通解中的诸常数,最后写出所求的解。

    2 解递推关系

      

    解:所给递推关系的特征方程为

    特征根为 所以

    其中 为待定常数,由初始条件有

    解这个方程组得 ,所以

    对于文中我们在例1以及例2中所建立起来的递推关系,我们都可以用上述的特征根法进行求解

     

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